Soutenance de thèse de Lorenzo VALVO

La formulation hamiltonienne de la mécanique classique révèle une structure algébrique de Lie sous-jacente qui est un élément clé pour développer une théorie de perturbation efficace. Mais on trouve des structures de Lie dans une classe plus grande de systèmes dynamiques, appelé systèmes de Poisson; certains exemples sont, entre autres, la dynamique des fluides, l'électrodynamique, la théorie cinétique. Dans la première partie de cette thèse, on propose une approche purement algébrique à la théorie classique des perturbations, qui s'applique donc à tout les système de Poisson. Dans cette méthode, introduite dans [Vittot, 2004], une transformation (de Lie) permet de diviser la perturbation en un terme préservant le flot non perturbé, et une correction plus petite, quadratique par rapport à la perturbation originale. Dans la deuxième partie de la thèse on considere la dynamique d'une Toupie Pulsante (un corps rigide non autonome). S'agissant probablement de l'exemple le plus basique de système de Poisson, la Toupie était un choix naturel pour une application de notre théorie. Nous considérons d'abord une toupie symétrique àvec des moments d'inertie qui oscille periodiquement; en introduisant des coordonnées appropriées, le système est réduit à un systeme presque classique; en effet, on montre que notre théorème s'applique et reproduit le théorème de KAM de la mécanique classique. Puis on considere une Toupie non symétrique avec moments d'inertie qui presentent des fluctuations quelconques: dans ce cas, on etudie sous quelles conditions les trajectoires du systeme sont proches de celle du système statique. Dans la troisième partie de ce mémoire, on étudie la dynamique d'une particule confinée magnétiquement. Dans ce cas le flot non perturbé est la dynamique dans un champ électromagnétique donné arbitraire; alors par la théorie des perturbations on peut réduire la dimensionnalité de la dynamique, ou étudier la rétroaction de la particule sur le champ. Cependant, fournir une description du flot non perturbé est une tâche redoutable, liée à la question de longue date de la théorie du centre-guide en physique des plasmas. Récemment une version relativiste et non perturbative de la théorie des centres guides a été proposée [Di Troia, 2018]. Nous dérivons les équations du mouvement et leur structure de Poisson dans cette description.

The Hamiltonian formulation of classical mechanics reveals an underlying Lie algebraic structure which is a key element for developing an efficient perturbation theory. But Lie structures are met in a wider class of dynamical systems, called Poisson systems; some examples are, among others, fluid dynamics, electrodynamics, kinetic theory. In the first part of this thesis, we propose a purely algebraic approach to classical perturbation theory to extend its scope to any Poisson system. In this method, introduced in [Vittot, 2004], a (Lie) transform allows to split the perturbation into a term preserving the unperturbed flow, and a smaller correction, quadratic in the original perturbation strength. The second part of the dissertation is about the dynamics of a Throbbing Top (a non-autonomous Rigid Body). Being probably the most basic example of Poisson system, the Top was a natural choice for an application of our theory. We consider first a symmetric Top with periodically dependent momenta of inertia; by introducing a suitable set of coordinates, the system is reduced to a nearly classical description; indeed we show that our theorem applies and reproduce the KAM theorem of classical mechanics. Then we switch to a non symmetric Top with non-periodically fluctuating momenta of inertia: in this case we study for which conditions the static trajectories give a good approximation to those of the non-autonomous system. In the third part of this work we study the dynamics of a magnetically confined particle. In this case the unperturbed flow is the dynamics in an arbitrary given electromagnetic field; then by perturbation theory one may reduce the dimensionality of the dynamics, or study the retroaction of the particle on the field. However, providing an efficient description of the unperturbed flow is a formidable task, related to the long-standing issue of Guiding Centre Theory in plasma physics. Recently a novel relativistic and non-perturbative approach to Guiding Centre theory has been proposed [Di Troia, 2018]. We derive the equations of motion and their Poisson structure in this description.